最短路

定义

(还记得这些定义吗?在阅读下列内容之前,请务必了解 图论基础 部分。)

  • 路径
  • 最短路
  • 有向图中的最短路、无向图中的最短路
  • 单源最短路、每对结点之间的最短路

性质

对于边权为正的图,任意两个结点之间的最短路,不会经过重复的结点。

对于边权为正的图,任意两个结点之间的最短路,不会经过重复的边。

对于边权为正的图,任意两个结点之间的最短路,任意一条的结点数不会超过 n ,边数不会超过 n-1

Floyd 算法

是用来求任意两个结点之间的最短路的。

复杂度比较高,但是常数小,容易实现。(我会说只有三个 for 吗?)

适用于任何图,不管有向无向,边权正负,但是最短路必须存在。(不能有个负环)

实现

我们定义一个数组 f[k][x][y] ,表示只允许经过结点 1 k ,结点 x 到结点 y 的最短路长度。

很显然, f[n][x][y] 就是结点 x 到结点 y 的最短路长度。

我们来考虑怎么求这个数组

f[0][x][y] :边权,或者 0 ,或者 +\infty f[0][x][x] 什么时候应该是 +\infty ?)

f[k][x][y] = min(f[k-1][x][y], f[k-1][x][k]+f[k-1][k][y])

上面两行都显然是对的,然而这个做法空间是 O(N^3)

但我们发现数组的第一维是没有用的,于是可以直接改成 f[x][y] = min(f[x][y], f[x][k]+f[k][y])

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for (k = 1; k <= n; k++) {
  for (i = 1; i <= n; i++) {
    for (j = 1; j <= n; j++) {
      f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);
    }
  }
}

时间复杂度是 O(N^3) ,空间复杂度是 O(N^2)

应用

给一个正权无向图,找一个最小权值和的环。

首先这一定是一个简单环。

想一想这个环是怎么构成的。

考虑环上编号最大的结点 u。

f[u-1][x][y] 和 (u,x), (u,y)共同构成了环。

在 Floyd 的过程中枚举 u,计算这个和的最小值即可。

O(n^3)

已知一个有向图中任意两点之间是否有连边,要求判断任意两点是否连通。

该问题即是求 图的传递闭包

我们只需要按照 Floyd 的过程,逐个加入点判断一下。

只是此时的边的边权变为 1/0 ,而取 \min 变成了 运算。

再进一步用 bitset 优化,复杂度可以到 O(\frac{n^3}{w})

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// std::bitset<SIZE> f[SIZE];
for (k = 1; k <= n; k++)
  for (i = 1; i <= n; i++)
    if (f[i][k]) f[i] = f[i] & f[k];

Bellman-Ford 算法

一种基于松弛(relax)操作的最短路算法。

支持负权。

能找到某个结点出发到所有结点的最短路,或者报告某些最短路不存在。

在国内 OI 界,你可能听说过的“SPFA”,就是 Bellman-Ford 算法的一种实现。(优化)

实现

假设结点为 S

先定义 dist(u) S u (当前)的最短路径长度。

relax(u,v) 操作指: dist(v) = min(dist(v), dist(u) + edge\_len(u, v)) .

relax 是从哪里来的呢?

三角形不等式: dist(v) \leq dist(u) + edge\_len(u, v)

证明:反证法,如果不满足,那么可以用松弛操作来更新 dist(v) 的值。

Bellman-Ford 算法如下:

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while (1) for each edge(u, v) relax(u, v);

当一次循环中没有松弛操作成功时停止。

每次循环是 O(m) 的,那么最多会循环多少次呢?

答案是 \infty !(如果有一个 S 能走到的负环就会这样)

但是此时某些结点的最短路不存在。

我们考虑最短路存在的时候。

由于一次松弛操作会使最短路的边数至少 +1 ,而最短路的边数最多为 n-1

所以最多执行 n-1 次松弛操作,即最多循环 n-1 次。

总时间复杂度 O(NM) (对于最短路存在的图)

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relax(u, v) {
    dist[v] = min(dist[v], dist[u] + edge_len(u, v));
}
for (i = 1; i <= n; i++) {
    dist[i] = edge_len(S, i);
}
for (i = 1; i < n; i++) {
    for each edge(u, v) {
        relax(u, v);
    }
}

注:这里的 edge\_len(u, v) 表示边的权值,如果该边不存在则为 +\infty u=v 则为 0

应用

给一张有向图,问是否存在负权环。

做法很简单,跑 Bellman-Ford 算法,如果有个点被松弛成功了 n 次,那么就一定存在。

如果 n-1 次之内算法结束了,就一定不存在。

队列优化:SPFA

即 Shortest Path Faster Algorithm。

很多时候我们并不需要那么多无用的松弛操作。

很显然,只有上一次被松弛的结点,所连接的边,才有可能引起下一次的松弛操作。

那么我们用队列来维护“哪些结点可能会引起松弛操作”,就能只访问必要的边了。

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q = new queue();
q.push(S);
in_queue[S] = true;
while (!q.empty()) {
    u = q.pop();
    in_queue[u] = false;
    for each edge(u, v) {
        if (relax(u, v) && !in_queue[v]) {
            q.push(v);
            in_queue[v] = true;
        }
    }
}

虽然在大多数情况下 SPFA 跑得很快,但其最坏情况下的时间复杂度为 O(NM) ,将其卡到这个复杂度也是不难的,所以考试时要谨慎使用(在没有负权边时最好使用 Dijkstra 算法,在有负权边且题目中的图没有特殊性质时,若 SPFA 是标算的一部分,题目不应当给出 Bellman-Ford 算法无法通过的数据范围)。

SPFA 的优化之 SLF

即 Small Label First。

即在新元素加入队列时,如果队首元素权值大于新元素权值,那么就把新元素加入队首,否则依然加入队尾。

该优化在确实在一些图上有显著效果,但是如果有负权边的话,可以直接卡到指数级。


Dijkstra 算法

Dijkstra 是个人名(荷兰姓氏)。

IPA:/ˈdikstrɑ/或/ˈdɛikstrɑ/。

这种算法只适用于非负权图,但是时间复杂度非常优秀。

也是用来求单源最短路径的算法。

实现

主要思想是,将结点分成两个集合:已确定最短路长度的,未确定的。

一开始第一个集合里只有 S

然后重复这些操作:

  1. 对那些刚刚被加入第一个集合的结点的所有出边执行松弛操作。
  2. 从第二个集合中,选取一个最短路长度最小的结点,移到第一个集合中。

直到第二个集合为空,算法结束。

时间复杂度:只用分析集合操作, n delete-min m decrease-key

如果用暴力: O(n^2 + m) = O(n^2)

如果用堆 O(m \log n)

如果用 priority_queue: O(m \log m)

(注:如果使用 priority_queue,无法删除某一个旧的结点,只能插入一个权值更小的编号相同结点,这样操作导致堆中元素是 O(m) 的)

如果用线段树(ZKW 线段树): O(m \log n + n) = O(m \log n)

如果用 Fibonacci 堆: O(n \log n + m) (这就是为啥优秀了)。

等等,还没说正确性呢!

分两步证明:先证明任何时候第一个集合中的元素的 dist 一定不大于第二个集合中的。

再证明第一个集合中的元素的最短路已经确定。

第一步,一开始时成立(基础),在每一步中,加入集合的元素一定是最大值,且是另一边最小值,每次松弛操作又是加上非负数,所以仍然成立。(归纳)(利用非负权值的性质)

第二步,考虑每次加进来的结点,到他的最短路,上一步必然是第一个集合中的元素(否则他不会是第二个集合中的最小值,而且有第一步的性质),又因为第一个集合内的点已经全部松弛过了,所以最短路显然确定了。

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H = new heap();
H.insert(S, 0);
dist[S] = 0;
for (i = 1; i <= n; i++) {
    u = H.delete_min();
    for each edge(u, v) {
        if (relax(u, v)) {
            H.decrease_key(v, dist[v]);
        }
    }
}

Johnson 全源最短路径算法

Johnson 和 Floyd 一样,是一种能求出无负环图上任意两点间最短路径的算法。该算法在 1977 年由 Donald B. Johnson 提出。

任意两点间的最短路可以通过枚举起点,跑 n 次 Bellman-Ford 算法解决,时间复杂度是 O(n^2m) 的,也可以直接用 Floyd 算法解决,时间复杂度为 O(n^3)

注意到堆优化的 Dijkstra 算法求单源最短路径的时间复杂度比 Bellman-Ford 更优,如果枚举起点,跑 n 次 Dijkstra 算法,就可以在 O(nm\log m) (取决于 Dijkstra 算法的实现)的时间复杂度内解决本问题,比上述跑 n 次 Bellman-Ford 算法的时间复杂度更优秀,在稀疏图上也比 Floyd 算法的时间复杂度更加优秀。

但 Dijkstra 算法不能正确求解带负权边的最短路,因此我们需要对原图上的边进行预处理,确保所有边的边权均非负。

一种容易想到的方法是给所有边的边权同时加上一个正数 x ,从而让所有边的边权均非负。如果新图上起点到终点的最短路经过了 k 条边,则将最短路减去 kx 即可得到实际最短路。

但这样的方法是错误的。考虑下图:

1 \to 2 的最短路为 1 \to 5 \to 3 \to 2 ,长度为 −2

但假如我们把每条边的边权加上 5 呢?

新图上 1 \to 2 的最短路为 1 \to 4 \to 2 ,已经不是实际的最短路了。

Johnson 算法则通过另外一种方法来给每条边重新标注边权。

我们新建一个虚拟节点(在这里我们就设它的编号为 0 )。从这个点向其他所有点连一条边权为 0 的边。

接下来用 Bellman-Ford 算法求出从 0 号点到其他所有点的最短路,记为 h_i

假如存在一条从 u 点到 v 点,边权为 w 的边,则我们将该边的边权重新设置为 w+h_u-h_v

接下来以每个点为起点,跑 n 轮 Dijkstra 算法即可求出任意两点间的最短路了。

一开始的 Bellman-Ford 算法并不是时间上的瓶颈,若使用 priority_queue 实现 Dijkstra 算法,该算法的时间复杂度是 O(nm\log m)

正确性证明

为什么这样重新标注边权的方式是正确的呢?

在讨论这个问题之前,我们先讨论一个物理概念——势能。

诸如重力势能,电势能这样的势能都有一个特点,势能的变化量只和起点和终点的相对位置有关,而与起点到终点所走的路径无关。

势能还有一个特点,势能的绝对值往往取决于设置的零势能点,但无论将零势能点设置在哪里,两点间势能的差值是一定的。

接下来回到正题。

在重新标记后的图上,从 s 点到 t 点的一条路径 s \to p_1 \to p_2 \to \dots \to p_k \to t 的长度表达式如下:

(w(s,p_1)+h_s-h_{p_1})+(w(p_1,p_2)+h_{p_1}-h_{p_2})+ \dots +(w(p_k,t)+h_{p_k}-h_t)

化简后得到:

w(s,p_1)+w(p_1,p_2)+ \dots +w(p_k,t)+h_s-h_t

无论我们从 s t 走的是哪一条路径, h_s-h_t 的值是不变的,这正与势能的性质相吻合!

为了方便,下面我们就把 h_i 称为 i 点的势能。

上面的新图中 s \to t 的最短路的长度表达式由两部分组成,前面的边权和为原图中 s \to t 的最短路,后面则是两点间的势能差。因为两点间势能的差为定值,因此原图上 s \to t 的最短路与新图上 s \to t 的最短路相对应。

到这里我们的正确性证明已经解决了一半——我们证明了重新标注边权后图上的最短路径仍然是原来的最短路径。接下来我们需要证明新图中所有边的边权非负,因为在非负权图上,Dijkstra 算法能够保证得出正确的结果。

根据三角形不等式,图上任意一边 (u,v) 上两点满足: h_v \leq h_u + w(u,v) 。这条边重新标记后的边权为 w'(u,v)=w(u,v)+h_u-h_v \geq 0 。这样我们证明了新图上的边权均非负。

这样,我们就证明了 Johnson 算法的正确性。


不同方法的比较

Floyd Bellman-Ford Dijkstra Johnson
每对结点之间的最短路 单源最短路 单源最短路 每对结点之间的最短路
没有负环的图 任意图(可以判定负环是否存在) 非负权图 没有负环的图
O(N^3) O(NM) O(M\log M) O(NM\log M)

注:表中的 Dijkstra 算法在计算复杂度时均用 priority_queue 实现。

输出方案

开一个 pre 数组,在更新距离的时候记录下来后面的点是如何转移过去的,算法结束前再递归地输出路径即可。

比如 Floyd 就要记录 pre[i][j] = k; ,Bellman-Ford 和 Dijkstra 一般记录 pre[v] = u


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