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哈密顿图

定义

通过图中所有顶点一次且仅一次的通路称为哈密顿通路。

通过图中所有顶点一次且仅一次的回路称为哈密顿回路。

具有哈密顿回路的图称为哈密顿图。

具有哈密顿通路而不具有哈密顿回路的图称为半哈密顿图。

性质

G=<V, E> 是哈密顿图,则对于 V 的任意非空真子集 V_1 ,均有 p(G-V_1) \leq |V_1| 。其中 p(x) x 的连通分支数。

推论:设 G=<V, E> 是半哈密顿图,则对于 V 的任意非空真子集 V_1 ,均有 p(G-V_1) \leq |V_1|+1 。其中 p(x) x 的连通分支数。

完全图 K_{2k+1} (k \geq 1) 中含 k 条边不重的哈密顿回路,且这 k 条边不重的哈密顿回路含 K_{2k+1} 中的所有边。

完全图 K_{2k} (k \geq 2) 中含 k-1 条边不重的哈密顿回路,从 K_{2k} 中删除这 k-1 条边不重的哈密顿回路后所得图含 k 条互不相邻的边。

充分条件

G n(n \geq 2) 的无向简单图,若对于 G 中任意不相邻的顶点 v_i, v_j ,均有 d(v_i)+ d(v_j) \geq n - 1 ,则 G 中存在哈密顿通路。

推论 1:设 G n(n \geq 3) 的无向简单图,若对于 G 中任意不相邻的顶点 v_i, v_j ,均有 d(v_i)+ d(v_j) \geq n ,则 G 中存在哈密顿回路,从而 G 为哈密顿图。

推论 2:设 G n(n \geq 3) 的无向简单图,若对于 G 中任意顶点 v_i ,均有 d(v_i) \geq \frac{n}{2} ,则 G 中存在哈密顿回路,从而 G 为哈密顿图。

D n(n \geq 2) 阶竞赛图,则 D 具有哈密顿通路。

D n(n \geq 2) 阶竞赛图作为子图,则 D 具有哈密顿通路。

强连通的竞赛图为哈密顿图。

D n(n \geq 2) 阶强连通的竞赛图作为子图,则 D 具有哈密顿回路。


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