二叉堆

结构

从二叉堆的结构说起,它是一棵二叉树,并且是完全二叉树,每个结点中存有一个元素(或者说,有个权值)。

堆性质:父亲的权值不小于儿子的权值(大根堆)。同样的,我们可以定义小根堆。本文以大根堆为例。

由堆性质,树根存的是最大值(getmax 操作就解决了)。

插入操作

插入操作是指向二插堆中插入一个元素,要保证插入后也是一棵完全二叉树。

最简单的方法就是,最下一层最右边的叶子之后插入。

如果最下一层已满,就新增一层。

插入之后可能会不满足堆性质?

向上调整 :如果这个结点的权值大于它父亲的权值,就交换,重复此过程直到不满足或者到根。

可以证明,插入之后向上调整后,没有其他结点会不满足堆性质。

向上调整的时间复杂度是 O(\log n) 的。

删除操作

删除操作指删除堆中最大的元素,即删除根结点。

但是如果直接删除,则变成了两个堆,难以处理。

所以不妨考虑插入操作的逆过程,设法将根结点移到最后一个结点,然后直接删掉。

然而实际上不好做,我们通常采用的方法是,把根结点和最后一个结点直接交换。

于是直接删掉(在最后一个结点处的)根结点,但是新的根结点可能不满足堆性质……

向下调整 :在该结点的儿子中,找一个最大的,与该结点交换,重复此过程直到底层。

可以证明,删除并向下调整后,没有其他结点不满足堆性质。

时间复杂度 O(\log n)

减小某个点的权值

很显然,直接修改后,向上调整一次即可,时间复杂度为 O(\log n)

实现

我们发现,上面介绍的几种操作主要依赖于两个核心:向上调整和向下调整。

参考代码:

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void up(int x) {
  while (x > 1 && h[x] > h[x / 2]) {
    swap(h[x], h[x / 2]);
    x /= 2;
  }
}
void down(int x) {
  while (x * 2 <= n) {
    t = x * 2;
    if (t + 1 <= n && h[t + 1] > h[t]) t++;
    if (h[t] <= h[x]) break;
    std::swap(h[x], h[t]);
    x = t;
  }
}

建堆

考虑这么一个问题,从一个空的堆开始,插入 n 个元素,不在乎顺序。

直接一个一个插入需要 O(n \log n) 的时间,有没有更好的方法?

方法一:使用 decreasekey(即,向上调整)

从根开始,按 BFS 序进行。

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void build_heap_1() {
  for (i = 1; i <= n; i++) up(i);
}

为啥这么做:对于第 k 层的结点,向上调整的复杂度为 O(k) 而不是 O(\log n)

总复杂度: \log 1 + \log 2 + \cdots + \log n = \Theta(n \log n)

(在「基于比较的排序」中证明过)

方法二:使用向下调整

这时换一种思路,从叶子开始,逐个向下调整

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void build_heap_2() {
  for (i = n; i >= 1; i--) down(i);
}

换一种理解方法,每次「合并」两个已经调整好的堆,这说明了正确性。

注意到向下调整的复杂度,为 O(\log n - k)

\begin{aligned} 总复杂度 & = n \log n - \log 1 - \log 2 - \cdots - \log n \\ & \leq n \log n - 0 \times 2^0 - 1 \times 2^1 -\cdots - (\log n - 1) \times \frac{n}{2} \\\ & = n \log n - (n-1) - (n-2) - (n-4) - \cdots - (n-\frac{n}{2}) \\ & = n \log n - n \log n + 1 + 2 + 4 + \cdots + \frac{n}{2} \\ & = n - 1 \\ & = O(n) \end{aligned}

之所以能 O(n) 建堆,是因为堆性质很弱,二叉堆并不是唯一的。

要是像排序那样的强条件就难说了。


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